6. Taivaanmekaniikka Taivaanmekaniikka tutkii taivaankappaleiden liikkeitä. Lähdemme liikkeelle Newtonin laeista ja johdamme niistä liikelait. Planeettojen liikettä kuvaavat Keplerin lait tosin määritettiin alunperin suoraan havainnoista. Seuraavassa oletetaan vektorilaskennan perusteiden tuntemista (vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku, skalaaritulo ja vektoritulo). Merkitään vektoria r:llä ja sen itseisarvoa (joka on skalaarisuure) r:llä. Vektorin r suuntainen yksikkövektori puolestaan on ˆr = r/r.
(Wikimedia Commons: Brews OHare, muokattu) Käytetään seuraavia merkintöjä: r 1 =Auringon paikkavektori (jossakin kiinteässä inertiaalikoordinaatistossa) r 2 =planeetan paikkavektori m 1 =Auringon massa, m 2 =planeetan massa r=planeetan paikkavektori aurinkokeskisessä koordinaatistossa r = r 2 r 1
Newtonin toisen lain mukaan planeetan kiihtyvyys riippuu siihen kohdistuvasta voimasta, eli F = m 2 r 2, (1) missä r 2 on paikkavektorin r 2 toinen aikaderivaatta, eli kiihtyvyys. Tällöin saadaan gravitaatiolakia soveltamalla ja vastaavasti Auringolle m 2 r 2 = Gm 1 m 2 r r 3 (2) m 1 r 1 = +Gm 1 m 2 r r 3 (3) Toisaalta r = r 2 r 1 r = r 2 r 1 (4)
Sijoittamalla edelliseen yhtälöt (2) ja (3) taas saadaan missä µ = G(m 1 + m 2 ). r = µ r r 3, (5) Tämä toisen kertaluvun vektoriarvoinen differentiaaliyhtälö kuvaa planeetan liikettä Auringon suhteen. Huom: kaavoissa (2) ja (3) on nimittäjässä r 3, miksi? Gravitaation voimakkuus skalaarimuodossa on toki F = Gm 1m 2 r 2, (6) mutta vektorimuotoon siirryttäessä pitää huomioida myös suunta. Jos olisi käytetty r-vektorin suuntaista yksikkövektoria, niin planeetan tapauksessa olisi voitu kirjoittaa myös m 2 r 2 = G m 1m 2 ˆr. r 2
Liikeyhtälön ratkaiseminen Edellä mainitun liikeyhtälön ratkaisemiseen tarvitaan kuusi integroimisvakiota, joita taivaanmekaniikassa kutsutaan integraaleiksi. Integraalit määräävät radan asennon, muodon ja koon. Integraalit voidaan valita useilla eri tavoilla: Voidaan käyttää esim. paikka- ja nopeusvektorien komponentteja, joiden avulla rataa voidaan integroida mielivaltaisella tarkkuudella eteen- tai taaksepäin. Usein käytetetään ns. rataelementtejä. Niihin palataan myöhemmin. Kolmas tapa on käyttää ns. fysikaalisia integraaleja k, e ja h. Johdetaan ne seuraavassa. Planeetan impulssimomentti eli pyörimismäärä aurinkokeskisessä koordinaatistossa on L = m 2 r ṙ. (7)
Käytetään nyt mieluummin pyörimismäärää/planeetan massayksikkö k = r ṙ. (8) Tämän aikaderivaatta on k = r r + ṙ ṙ (9) Jälkimmäinen termi on tietenkin nolla ja liikeyhtälön perusteella voimme kirjoittaa edelleen eli sekin on nolla. k = r ( µr/r 3 ) = (µ/r 3 )r r (10) Toisin sanoen k on vakiovektori (samoin L). Koska pyörimimäärävektori on aina kohtisuorassa liikettä vastaan, täytyy liikkeen tapahtua k-vektoria vastaan kohtisuorassa tasossa. k-vektorin komponenteista saamme kolme integraalia.
(Wikimedia Commons: Prometeus (muokattu))
Lasketaan nyt vektoritulo k r = (r ṙ) ( µr/r 3 ) = (µ/r 3 )[(r r)ṙ (r ṙ)r]. (11) Etäisyyden r aikaderivaatta ṙ on ṙ:een projektio paikkavektorin r suunnassa, eli radiaalinopeus. HUOM!: ṙ EI siis ole ṙ:een itseisarvo! Näin ollen ṙ = r ṙ/r eli Sijoittamalla tämä saamme (huom: r r = r 2 ): r ṙ = rṙ. (12) Toisaalta k r = µ(ṙ/r rṙ/r 2 ) = d ( µr/r) (13) dt k r = d (k ṙ). (14) dt
Joten ja d (k ṙ + µr/r) = 0 (15) dt k ṙ + µr/r = vakio = µe. (16) Koska k on kohtisuorassa ratatasoa vastaan, on k ṙ ratatasossa. Ts. myös vakiovektori e on ratatasossa ja osoittaa suuntaan, jossa planeetta on radallaan lähinnä Aurinkoa eli perihelissä. Lasketaan seuraavaksi skalaaritulo ṙ r = µṙ r/r 3 = µrṙ/r 3 = µṙ/r 2 = d (µ/r). (17) dt Toisaalta ṙ r = d dt ( ) 1 2ṙ ṙ, (18)
joten ( ) d 1 dt 2ṙ ṙ µ/r = 0, (19) eli 1 2 v 2 µ/r = vakio = h, (20) missä v on planeetan nopeus radallaan ja kokonaisenergia on m 2 h. Skalaaria h sanotaan energiaintegraaliksi. Meillä on nyt siis kaksi vakiovektori (molemmilla kolme komponenttia) ja yksi skalaari. Onko meillä siis seitsemän integraalia? Edellä johdetut integraalit eivat ole kuitenkaan toisistaan riippumattomia, vaan voidaan osoittaa (kts. Tähtitieteen perusteet, s. 176), että niille pätevät relaatiot
k e = 0, (21) ja missä e ja k ovat vektorien e ja k itseisarvot. µ 2 (e 2 1) = 2hk 2, (22) Kun nämä relaatiot otetaan huomioon, riippumattomia integraaleja onkin enää viisi. Edellä mainitut viisi integraalia määräävät täydellisesti radan koon, muodon ja asennon, mutta ne eivät kerro mitään siitä, missä kappale on radallaan! Ilmeinen kuudes integraali siis kertoo kappaleen paikan radallaan. Tämä tehdään yleensä ilmoittamalla periheliaika τ, ts. se hetki jolloin planeetta on radallaan lähinnä Aurinkoa.
Radan yhtälö ja Keplerin 1. laki Vakiovektori e sijaitsee ratatasossa, käytetään sitä perussuuntana. Merkitään paikkavektorin ja e:n välistä kulmaa f :llä (todellinen anomalia eli luonnollinen anomalia) jolloin Toisaalta r e = re cos f. (23) r e = 1 µ (r k ṙ + µr r/r) = 1 k2 µ (k ṙ r + µr) = µ r. Näistä kahdesta r e :n lausekkeesta saadaan etäisyydeksi r = k2 /µ 1 + e cos f. (24) Tämä on kartioleikkauksen yleinen yhtälö napakoordinaateissa (r, f ) silloin kun origo on polttopisteessä!
(Wikimedia Commons: Stamcose)
Vektorin e itseisarvo e ilmoittaa kartioleikkauksen eksentrisyyden. e = 0 ympyrä 0 < e < 1 ellipsi e = 1 paraabeli e > 1 hyperbeli Kartioleikkauksen yhtälöstä nähdään myös, että etäisyys r on pienimmillään kun f = 0, eli planeetta on vektorin e suunnassa. Olemme johtaneet Keplerin ensimmäisen lain: Aurinkoa kiertävän planeetan rata on ellipsi, jonka toisessa polttopisteessä on Aurinko tai oikeammin yleisemmän lain, jonka erikoistapaus Keplerin 1. laki on myös paraabeli- ja hyperbeliradat ovat mahdollisia.
(Wikimedia Commons: Cdang)
(Wikimedia Commons: Mintz)
Aiemmin esitetystä radan yhtälöstä nähdään, että ns. radan parametri p = k 2 /µ. Toisaalta geometriasta tiedetään, että ellipsin ja hyperbelin parametri on p = a 1 e 2, joten isoakselin puolikas on a = k2 /µ 1 e 2. (25) Käyttämällä hyväksi aiemmin esitettyä yhtälöä µ 2 (e 2 1) = 2hk 2 saadaan yhteys radan koon ja energiaintegraalin välille a = µ/2h, kun rata on ellipsi a = µ/2h, kun rata on hyperbeli. Sidotulle systeemille, eli ellipsiradalle, kokonaisenergia ja energiaintegraali ovat negatiivisia, hyperbeliradalle h on positiivinen: kappale pystyy karkaamaan Auringon vetovoimakentästä. Rajatapauksena on paraabelirata, h = 0.
ESIMERKKI Maan radan isoakselin puolikas a = 1.0 AU ja eksentrisyys e = 0.0167. Marsille vastaavat lukemat ovat a = 1.524 ja e = 0.0963, asteroidille 2000 BD19 puolestaan a = 0.8765 ja e = 0.8950. Mitä nämä luvut tarkoittavat? Maapallon radan Aurinkoa lähin piste, eli periheli on r p = a(1 e)) = 1.0 (1.0 0.0167) = 0.9833 AU, radan kaukaisin piste apheli puolestaan r a = a(1 + e) = 1.0 (1.0 + 0.0167) = 1.0167 AU Marsille vastaavat luvut ovat r p = 1.378 AU, r a = 1.671 AU. Asteroidille taas r p = 0.092 AU, r p = 1.661 AU.
Entäpä tarkemmat muodot? Verrataan nyt pelkästään ratojen muotoa, ts. perihelin suunta ja inklinaatio jätetään nyt huomioimatta (Marsin radan inklinaatio i = 1.85, ko. asteroidin i = 25.7 ). Helpoin tapa lähestyä ongelmaa on kirjoittaa pieni ohjelma, joka ratkaisee kappaleiden paikat napakoordinaateissa (r, f ) kaavasta r = a 1 e2 1 + e cos f ja plottaa ne sitten (ohjelmointikielestä tai ohjelmistosta riippuen voidaan tarvita muutos karteesisiin koordinaatteihin, x = r cos f, y = r sin f ).
ESIMERKKI: Maan rata
ESIMERKKI: Maan ja Marsin radat
ESIMERKKI: Maa, Mars ja asteroidi
Keplerin 2. ja 3. laki Planeetan paikkavektori on napakoordinaatistossa r = rê r, missä ê r, on r:n suuntainen yksikkövektori. Planeetta liikkuu kulmanopeudella ḟ, jolloin tämän yksikkövektorin suunta muuttuu samalla kulmanopeudella, joten ê r = ḟ ê f. (26) missä ê f on ê r :ää vastaan kohtisuora yksikkövektori. Nopeusvektorille puolestaan saadaan ṙ = ṙê r + r ê r = ṙê r + rḟ ê f. (27) Vektorille k taas saadaan k = r ṙ = r 2 ḟ ê z, (28) missä ê z on ratatasoa vastaan kohtisuora yksikkövektori.
Toisin sanoen vektorin k pituus on k = r 2 ḟ (29) missä ḟ on planeetan luonnollisen anomalian aikaderivaatta. Toisaalta voidaan osoittaa, että planeetan paikkavetorin aikayksikössä pyyhkäisemä pinta-ala eli pintanopeus on Vertaamalla näitä kahta yhtälöä saadaan Ȧ = 1 2 r 2 ḟ. (30) Ȧ = 1 k. (31) 2 Koska k on vakio, niin planeetan pintanopeuskin on vakio. Toisin sanoen saimme Keplerin 2. lain: ellipsirataa liikkuvan planeetan pintanopeus on vakio.
(Wikimedia Commons: Stw)
Kirjoitetaan edellinen yhtälö hieman toisin ja integroidaan se yhden kierroksen yli: missä P on kiertoaika. rataellipsi Ellipsin pinta-ala on πab = πa 2 1 e 2, joten da = 1 P 2 k dt, (32) 0 πa 2 1 e 2 = 1 kp. (33) 2 Aiemmin esitettyjen kaavojen (kirjassa 6.13) perusteella k:n itseisarvolle saadaan lauseke k = G(m 1 + m 2 )a(1 e 2 ), jolloin kaava 33 saadaan muotoon P 2 = 4π 2 G(m 1 + m 2 ) a3. (34)
Tämä on Keplerin 3. lain yleistetty muoto. Jos planeetan massa on hyvin pieni verrattuna Auringon massaan, niin siitä saadaan perinteinen Keplerin 3. laki: planeettojen ratojen isoakselien puolikkaiden kuutiot suhtautuvat toisiinsa kuten niiden kiertoaikojen neliöt. Jos etäisyyden yksikkönä käytetään AU:ta, ajan yksikkönä sideeristä vuotta ja massan yksikkönä Auringon massaa, niin gravitaatiovakio G = 4π 2 ja a 3 = (m 1 + m 2 )P 2. (35)
Esimerkki Pikkuplaneetan ellipsiradan isoakselin puolikas a = 1.568 AU, laske pikkuplaneetan nopeus silloin kun sen etäisyys Auringosta on r = 1.17 AU. Energiaintegraali: joten josta h = µ 2a, 1 2 v 2 µ r = µ 2a, v = µ ( 2 r 1 ) a
= ( 2 4π 2 1.17 1 ) 1.568 = 6.5044 AU/vuosi 31 km/s Huom: edellä on laskettu µ = G(m 1 + m 2 ) = 4π 2 (m 1 + m 2 ) 4π 2 m 1 = 4π 2!
Monen kappaleen systeemit Kun tarkastelemme useammasta kappaleesta (lukumäärä n) muodostuvaa systeemiä, niin voimme kirjoittaa kappaleen k liikeyhtälön analogisesti kahden kappaleen tapauksen kanssa r k = n i=1,i k r i r k Gm i r i r k 3. (36) Yhtälön yleinen ratkaisu vaatii 6n integraalin tietämistä. Tämä onnistuu vain kun n = 2, ts. yleistä analyyttistä ratkaisua ei ole olemassa kun n 3! Yleisessä tapauksessa tiedetään vain kokonaisenergia, -liikemäärä ja -pyörimismäärä. Jos kappaleiden paikat ja nopeudet tiedetään jollakin ajanhetkellä, voidaan paikat ja nopeudet jonain muuna hetkenä laskea numeerisesti liikeyhtälöstä.
Jos yksi kappale on paljon muita massiivisempi, voidaan tarkastella n 1:tä kahden kappaleen probleemaa, joihin lisätään häiriötermejä, jotka kuvaavat muiden planeettojen vaikutusta. Rajoitettu kolmen kappaleen probleema: kaksi massiivista kappaletta eli primääriä kiertää toisiaan pitkin ympyräratoja, kolmas kappale on niin kevyt ettei se häiritse kahden massiivisemman kappaleen liikettä. Rajoitetulla kolmen kappaleen probleemalla on mielenkiintoisia erikoisratkaisuja. Viisi Lagrangen pistettä, joissa kappale voi pysyä levossa primäärien rataliikkeen mukana pyörivässä koordinaatistossa. Lagrangen pisteistä kolme on epästabiileja, kahden muun stabiilisuus riippuu primäärien massasuhteesta (kirjassa on virhe tässä kohdassa!). Edellä mainitut kaksi pistettä, L 4 ja L 5 ovat kyllä stabiileja Aurinko-planeetta primääreille. Esimerkistä käyvät Jupiterin kanssa samalla kiertoradalla olevat troijalaiset asteroidit.
Lagrangen pisteet (NASA), tasa-arvokäyrät vastaavat ns. efektiivistä potentiaalia, joka on näppärä tällaisissa tarkasteluissa (tarkemmat yksityiskohdat jätetään kuitenkin muille kursseille).
Hevosenkenkärata (NASA) kun pieni kappale on 1:1-resonanssissa suuren kappaleen kanssa, niin sen suuren kappaleen kiertonopeudella pyörivässä koordinaatistossa voi olla esim. hevosenkengän muotoinen. Inertiaalikoordinaatistossa kappaleen rata on edelleen käytännössä ellipsin muotoinen ja sen rataperiodi on lähes sama kuin isommalla kappaleella, mutta pyörivässä koordinaatistossa hevosenkengän kiertämiseen voi kulua esim. Maa-asteroidi yhdistelmillä useita satoja vuosia.
Rataelementit Edellä mainittuja integraaleja yleisemmin käytetään rataelementtejä: Isoakselin puolikas a. Eksentrisyys e. Inklinaatio i. Nousevan solmun pituus Ω. Perihelin argumentti ω. Periheliaika τ. Näistä eksentrisyys e ja periheliaika τ ovat tuttuja jo aiemmista integraaleista.
(Wikimedia Commons: Lasunncty)
Vektorit k ja e määräävät radan asennon. Sama informaatio sisältyy rataelementteihin i, Ω ja ω. Inklinaatio i määrää radan kaltevuuden perustasoon nähden. Aurinkokunnan tapauksessa perustasona on Maan ratataso, ekliptika. Inklinaatio on välillä [0, 90 ] jos kappale kiertää vastapäivään, ja välillä [90, 180 ] jos kappale kiertää myötäpäivään. Nousevan solmun pituus Ω ilmoittaa, missä kohtaa planeetta nousee ekliptikan pohjoispuolelle ja se mitataan kevättasauspisteestä vastapäivään. Perihelin argumentti ω ilmoittaa perihelin suunnan mitattuna nousevasta solmusta kappaleen liikkeen suuntaan. Perihelin argumentin sijaan käytetään usein perihelin pituutta ϖ = Ω + ω. (37)
Huomautus 1: perihelin pituus siis määritetään kahden eri tasoissa mitatun kulman summana! Huomautus 2: edellä oleva symboli ϖ on vaihtoehtoinen kirjoitustapa kreikkalaisten aakkosten kirjaimelle pii, ei siis mikään omega-viiva. Edellä on oletettu, että planeettojen liikettä voidaan tarkastella erillisinä kahden kappaleen probleemoina, ts. planeettojen keskinäisten vetovoimien aiheuttamat häiriöt ovat hyvin pieniä. Tarkkaan ottaen näin ei ole, vaan häiriöt on otettava huomioon. Tämä voidaan tehdä käyttämällä ajan funktiona muuttuvia rataelementtejä. Tällaiset tietylle hetkelle määritetyt oskuloivat elementit vastaavat kappaleen rataa, mikäli häiriöt äkkiä katoaisivat ko. hetkellä.
Tähtitieteen perusteiden taulukko-osassa (D.12) on annettu keskimääräiset rataelementit epookille J2000.0 ja niiden ensimmäiset aikaderivaatat. Periheliajan sijasta taulukossa on annettu keskilongitudi L = M + ω + Ω, (38) missä M on myöhemmin määriteltävä keskianomalia.
Radan määrittäminen Planeetan radan määrittämiseen on useita menetelmiä, joista tunnetuin on ns. Gaussin menetelmä. Yleensä tarvitaan vähintään kolme havaintoa, joihin sovitetaan kartioleikkausrataa. Tarkkuutta voidaan kasvattaa lisäämällä havaintojen määriä. Suureen tarkkuuteen rataparametrien arvoissa vaaditaan useita havaintoja mahdollisimman pitkältä aikaväliltä. Esimerkiksi vasta löydettyjen Maan lähellä olevien asteroidien rataparametrejä pyritään tarkentamaan etsimällä ko. asteroideista jo vuosikymmeniä sitten vahingossa otettuja kuvia. Lisätietoja ratojen määrittämisestä löytyy esim. kirjasta Karttunen: Taivaanmekaniikka. Jätetään tämä asia aineopintokurssille.
Planeetan paikan laskeminen (ellipsirata) Luonnollinen anomalia f ei kasva tasaisesti. Planeetan paikkavektori voidaan esittää myös muodossa r = a(cos E e)î + b sin Eĵ, (39) missä a ja b ovat ellipsiradan iso- ja pikkuakselien puolikkaat (b = a 1 e 2 ) ja î ja ĵ niiden suuntaiset yksikkövektorit. E on eksentrinen anomalia, jonka geometrinen tulkinta on esitetty seuraavassa kuvassa (tai kirjan kuvassa 6.9). Voidaan edelleen osoittaa, että Miten saadaan E haluttuna ajanhetkenä? r = a(1 e cos E). (40)
(Wikimedia Commons: Brews ohare, editoitu)
Keplerin 2. lain mukaan planeetan pintanopeus on vakio, joten edellisen kuvan vaakaraidoitetun alueen SPX pinta-ala on A SPX = πab t τ P, (41) missä t τ on aika perihelin ohituksesta, P on rataperiodi ja πab on ellipsin pinta-ala. Tietyillä ympyröiden ja ellipsien geometriaan liittyvillä vertailuilla (Tähtitieteen perusteet, s. 187-188), voidaan alueen A SPX pinta-alalle johtaa myös lauseke A SPX = 1 ab(e e sin E). (42) 2 Huom: edellä E on ilmaistava radiaaneissa! Vertaamalla näitä alueen SPX pinta-alan lausekkeita saadaan Keplerin yhtälö: E e sin E = M, (43)
missä esiintyy keskianomalia M = 2π P (t τ). (44) Keskianomalia M kasvaa tasaisesti ajan myötä ja se vastaa suuntaa, jossa planeetta olisi, jos se liikkuisi pitkin a-säteistä ympyrärataa. Näennäisestä yksinkertaisuudestaan huolimatta Keplerin yhtälöä ei voi ratkaista analyyttisesti, vaan se pitää ratkaista iteroimalla (kts. kirjan esimerkki 6.6 tai laskuharjoitukset) tai sarjakehitelmästä (Taivaanmekaniikka-kurssi tai Karttusen kirja). Kun Keplerin yhtälöstä on ratkaistu E, saadaan luonnollinen anomalia muunnoskaavoista cos E e cos f = 1 e cos E sin f = 1 e 2 sin E 1 e cos E.
Parametrit r ja f kertovat planeetan sijainnin radallaan planeetan omassa ratatasossa. Jos haluamme selvittää, missä planeetta näkyy taivaalla, niin tarvitsemme vielä muutaman lisäaskeleen (kirjan esimerkit 6.6-6.7): Rataelementtien avulla voimme laskea heliosentrisen pituuden ja leveyden. Näistä voimme laskea suorakulmaiset ekliptikaaliset koordinaatit. Tämän jälkeen voimme laskea ekvatoriaaliset koordinaatit kiertämällä ekliptikan kaltevuuden verran. Tarvitsemme myös Maan sijainnin radallaan, ts. siirrymme maakeskisiin ekvatoriaalisiin koordinaatteihin. Lopuksi määritellään rektaskensio ja deklinaatio. Jätetään tämäkin aineopintokurssille.
ESIMERKKI Usein sanotaan, että isoakselin puolikas a on samalla planeetan keskietäisyys Auringosta. Mutta minkä suhteen tämä keskiarvo on otettu? Osoittautuu, että on useita mielekkäitä tapoja määrittää planeetan etäisyyden keskiarvo - onko kyseessä aikakeskiarvo vai geometrinen keskiarvo? Jos keskiarvo r määritetään kaaren pituuden suhteen, niin r/a = 1, eli kaikki hyvin. Jos keskiarvo määritetään luonnollisen anomalian suhteen (f muuttuu tasavälisesti), niin r/a = 1 e 2. Ajan suhteen otettu keskiarvo puolestaan on r/a = 1 + 1 2 e2. Eksentrisen anomalian suhteen otetulle keskiarvolle r/a = 1.
Pakonopeus ja ympyräratanopeus Jos kappale liikkuu riittävän suurella nopeudella, se voi paeta äärettömän kauas. Rajatapausta vastaa tilanne, jossa kappaleen nopeus äärettömyydessä on 0. Tällöin myös potentiaalienergia on nolla (r ääretön). Ts. kokonaisenergia on nolla, samoin energiaintegraali h. Energiaintegraalin säilymisestä saamme siis yhtälön 1 2 v 2 µ/r = 0, (45) missä R on etäisyys, jolta kappale lähtee nopeudella v. Tästä saamme pakonopeudeksi etäisyydellä R: 2G(m1 + m 2 ) v e =. (46) R
Maan pinnalta pakonopeus on n. 11 km s 1 (m 2 m 1 ). Jos kappale kiertää pitkin ympyrärataa, niin sen periodi on missä v c on ympyräratanopeus. Keplerin kolmannen lain avulla saamme P = 2πR v c, (47) v c = G(m1 + m 2 ) R (48) eli v e = 2v c. (49)
ESIMERKKI Laske geostationäärisen satelliitin radan säde. Miten suuri nopeuslisä satelliitille olisi annettava, että se pääsisi pakoon Maata kiertävältä radalta? Maapallon sideerinen pyörähdysaika on n. 86164 sekuntia, eli aiemmin n. neljä minuuttia lyhempi kuin kalenterivuorokausi. Kun otetaan äsken esitetyt ympyräradan periodin ja ympyräratanopeuksien kaavat 47 ja 48, saamme ympyräradan säteeksi periodin funktiona R = 3 P 2 G(m 1 + m 2 ) 4π 2 Sijoitetaan tähän haluttu periodi ja maapallon massa, m = 5.97 10 24 kg (satelliitin massa voidaan jättää huomioimatta):
R = 3 (86164 s)2 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 5.97 10 24 kg 4π 2 = 42150 km Jos olisimme käyttäneet hieman tarkempia arvoja luonnonvakioille, niin tulokseksi olisi tullut 42164 km. Vastaava ympyräratanopeus: v c = 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 5.97 10 24 kg 42150 km 3.1 km/s Ja pakonopeus v e = 2v c = 4.4 km/s. Nopeuslisä on siis 1.3 km/s.
Viriaaliteoreema Yleisessä n:n kappaleen ongelmassa ei siis ole mahdollista löytää analyyttistä ratkaisua kun n 3. On kuitenkin mahdollista johtaa tiettyjä tilastollisia tuloksia, jotka koskevat systeemiä kokonaisuutena, mutta eivät kerro mitään yksittäisten kappaleiden liikkeistä, tai edes systeemin tilasta jollakin tietyllä ajan hetkellä. Jos tarkastellaan rajoitettuun systeemiin liittyvien suureiden aikakeskiarvoja, voidaan johtaa ns. viriaaliteoreeman yleinen muoto (Tähtitieteen perusteet, s. 193-194): < 2T > + < n F i r i >= 0, (50) i=1 missä T on systeemin kineettinen energia, r i ovat kappaleiden paikkavektorit, F i ovat kappaleiden väliset voimat ja <>- symbolit viittaavat aikakeskiarvoon.
Jos kappaleiden väliset voimat johtuvat pelkästään gravitaatiosta, niin voidaan osoittaa < T >= 1 2 < U >, (51) missä U on systeemin potentiaalienergia. Viriaaliteoreemaa käytetään esim. arvioitaessa pallomaisten tähtijoukkojen ja galaksijoukkojen massoja. Tällöin tarkasteltavan olevan systeemin on oltava suhteellisen vakaassa tilassa.
Jeansin massa Tähdet, tähtijoukot ja galaksit syntyvät kutistumalla kaasupilvestä. Jos pilven massa on niin suuri, että sen potentiaalienergian itseisarvo ylittää kaksinkertaisesti kineettisen energian, pilvi alkaa luhistumaan (viriaaliteoreemasta). Pienenä viihdenumerona johdetaan tämän massa, Jeansin massan lauseke käyttäen dimensioanalyysiä. Kaasupilven paine on P ja tiheys on ρ. Koska kutistava voima on gravitaatio, niin gravitaatiovakion on oltava mukana lausekkeessa ja saadaan M = CP a G b ρ c, (52) missä C on dimensioton vakio ja vakiot a, b ja c valitaan siten, että yksiköksi tulee massan yksikkö.
Tiedämme, että [P] = kg m 1 s 2, [G] = kg 1 m 3 s 2 ja [ρ] = kg m 3, joten lausekkeen oikean puolen dimensio on kg a b+c m a+3b+c s 2a 2b, jonka on oltava kg! Saamme kolmen yhtälön ryhmän, josta on helppo ratkaista a = 3/2, b = 3/2, c = 2 eli M J = C P3/2 G 3/2 ρ 2. (53) Vakio C riippuu T :sta ja U:sta ja on ykkösen suuruusluokkaa. Jos pilven massa on paljon suurempi kuin Jeansin massa, niin se romahtaa.
Kineettistä kaasuteoriaa käyttämällä voidaan johtaa M J = C ( ktk µg ) 3/2 1 ρ, (54) missä T k on kaasun kineettinen lämpötila ja µ on keskimääräinen molekyylipaino. Usein käytetään myös Jeansin pituutta λ J : määritetään minkä pituinen häiriöaalto voi kasvaa pilvessä rajatta.
Taivaanmekaniikasta eteenpäin Tähtijoukkoja ja galakseja voidaan mallintaa integroimalla kappaleiden liikettä lähtien alkutilan paikoista ja nopeuksista. Galaksien tapauksessa malleissa on paljon vähemmän kappaleita kuin galaksissa on tähtiä mallin kappaleet ovat paljon tähteä massiivisempia. Tämä johtaisi epärealistisen suuriin voimiin kappaleiden kohtaamisissa, yleensä tätä efektiä kierretään käyttämällä ns. pehmennystä etäisyyksiin lisätään pieni tekijä, joka heikentää voimia lähikohtaamisissa, mutta on kuitenkin niin pieni ettei käytännössä vaikuta voimiin isommilla etäisyyksillä. Jos järjestelmän, kuten galaksin, kappalemäärä on hyvin suuri, sen yleistä materiajakaumaa voi usein mallintaa jatkuvana tiheysjakaumana, jolla on tietty geometria. Tällöin voidaan yksittäisen kappaleen rataa integroida esim. analyyttisessä gravitaatiopotentiaalissa, joka vastaa em. tiheysjakaumaa.
Lopputuloksena voi olla mielenkiintoisia eroja verrattuna Aurinkokunnan kappaleiden liikkeisiin: sulkeutumattomia ratoja, ratoja, jotka sulkeutuvat jollakin nopeudella pyörivässä koordinaatistossa jne. Yllä olevassa kuvassa on esitetty ratoja sauvaspiraaligalaksin sauvan mukana pyörivässä koordinaatistossa (sauva olisi kuvassa x-akselin suuntainen ja loppuisi vähän ennen katkoviivalla merkittyä ympyrää).
Edistyneempiin käsitteisiin, kuten resonansseihin tai kaoottisiin ratoihin, törmää toki myös Aurinkokunnan dynamiikkaa tarkasteltaessa. Toisaalta klassisen mekaniikan mukainen taivaanmekaniikka muuttuu riittämättömäksi silloin kun tarkastellaan liikettä voimakkaassa painovoimakentässä. Planeetoista lähinnä Aurinkoa kiertävän Merkuriuksen perihelin suunta kiertyy 565 vuosisadassa. Suurin osa tästä selittyy muiden planeettojen aiheuttamilla häiriöillä, mutta 43 vuosisadassa jää kuitenkin ylimääräistä. LeVerrier ehdotti tämän johtuvan Merkuriuksen radan sisäpuolella kiertävän planeetan, Vulkanuksen, vaikutuksesta. Myöhemmin osoittautui, että Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria selitti eron Vulkanuksen etsinnät voitiin lopettaa.